Accueil Carrara : Index 

 

L'éditeur de formules de Carrara Studio - Page 22

Pseudo-sphère (surface de Beltrami ou tractroïde)

A - Diverses paramétrisations de la pseudo-sphère

A - 1 - Simple

Les formules 1 et 2 donnent la même surface 

Formule 1 Formule 2
a=5;
p=2*PI*u;
q=4*v;
x=a*cos(p)/cosh(q);
y=a*sin(p)/cosh(q);
z=a*(q-tanh(q));		 a=5;e=0.001;
p=2*PI*u;
q=0.5*((PI-4*e)*v+PI+2*e);
x=a*sin(q)*cos(p);
y=a*sin(q)*sin(p);
z=a*(cos(q)+log(tan(q/2)));
 
Texture Rendu
q=4*v;
blue=abs(cos(17*q));
green=abs(cos(15*q));
red=abs(cos(13*q));		 beltra11.jpg
 
Texture Rendu
p=2*PI*u;
blue=abs(cos(17*p));
green=abs(cos(15*p));
red=abs(cos(13*p));		 beltra12.jpg
 
Texture Rendu
p=2*PI*u;
q=4*v;
blue=abs(cos(7*(q+p)/2));
red=abs(cos(7*(q-p)/2));
green=1-blue*red;		 beltra13.jpg

A - 2 - Double

Les formules 1 et 2 donnent la même surface 

Formule 1 Formule 2
a=5;
p=2*PI*u;
q=8*(v-0.5);
x=a*cos(p)/cosh(q);
y=a*sin(p)/cosh(q);
z=a*(q-tanh(q)); 		a=5;e=0.001;
p=2*PI*u;
q=(PI-2*e)*v+e;
x=a*sin(q)*cos(p);
y=a*sin(q)*sin(p);
z=a*(cos(q)+log(tan(q/2)));
 
Texture Rendu
q=8*(v-0.5);
blue=abs(cos(17*q));
green=abs(cos(15*q));
red=abs(cos(13*q));		 beltra21.jpg
 
Texture Rendu
p=2*PI*u;
blue=abs(cos(17*p));
green=abs(cos(15*p));
red=abs(cos(13*p));		 beltra22.jpg
 
Texture Rendu
p=2*PI*u;
q=8*(v-0.5);
blue=abs(cos(7*(q+p)/2));
red=abs(cos(7*(q-p)/2));
green=1-blue*red;		 beltra23.jpg

B - De la pseudo-sphère à la surface de Dini

Formule objet Formule texture
a=2;b=0.25*(p1+1);e=0.01;
p=6*PI*u;
q=(PI-2*e)*v+e;
x=a*cos(p)*sin(q);
y=a*sin(p)*sin(q);
z=a*(cos(q)+log(tan(q/2)))+b*p;		 e=0.01;
q=(PI-2*e)*v+e;
blue=abs(cos(17*q));
green=abs(cos(15*q));
red=abs(cos(13*q));
 
Rendu pour p1 = -1 Rendu pour p1 = 0 Rendu pour p1 = 1
beltradini1.jpg beltradini2.jpg beltradini3.jpg

C - Tractrice

Une tractrice (courbe plane) qui tourne autour de son asymptote engendre une pseudo-sphère

C - 1 - Tractrice représentée sous forme de tube

Formule objet tractrice-tube Formule texture Rendu
a=2;
p=2*PI*u;
q=10*(v-0.5);
r=0.1;
x=a*(5*q+r*cos(p)/cosh(q)-5*tanh(q));
y=a*(5/cosh(q)+r*cos(p)*tanh(q));
z=a*r*sin(p);		 p=2*PI*u;
q=10*(v-0.5);
red=abs(cos(5*p));
blue=abs(cos(23*q));
green=red*blue;		 tractricetube.jpg

C - 2 - Tractrices représentées sous forme de fond

Formule fond Rendu
a1=1;a2=0.9*a1;a3=0.8*a1;a4=0.7*a1;a5=0.6*a1;a6=0.5*a1;
e=0.01;k=1.75;
x=k*a1*(u-0.5);
y=k*a1*(v-0.5);
expr1=(abs(x)<a1&&x!=0?y*y-pow(a1*log((a1+sqrt(a1*a1-x*x))/abs(x))-sqrt(a1*a1-x*x),2):x);
expr2=(abs(x)<a2&&x!=0?y*y-pow(a2*log((a2+sqrt(a2*a2-x*x))/abs(x))-sqrt(a2*a2-x*x),2):x);
expr3=(abs(x)<a3&&x!=0?y*y-pow(a3*log((a3+sqrt(a3*a3-x*x))/abs(x))-sqrt(a3*a3-x*x),2):x);
expr4=(abs(x)<a4&&x!=0?y*y-pow(a4*log((a4+sqrt(a4*a4-x*x))/abs(x))-sqrt(a4*a4-x*x),2):x);
expr5=(abs(x)<a5&&x!=0?y*y-pow(a5*log((a5+sqrt(a5*a5-x*x))/abs(x))-sqrt(a5*a5-x*x),2):x);
expr6=(abs(x)<a6&&x!=0?y*y-pow(a6*log((a6+sqrt(a6*a6-x*x))/abs(x))-sqrt(a6*a6-x*x),2):x);
expr7=x;
expr8=x*x-pow(k*a1/2,2);
expr9=y*y-pow(k*a1/2,2);
green=1-(abs(expr1)<e||abs(expr2)<e||abs(expr3)<e||abs(expr4)<e||abs(expr5)<e||abs(expr6)<e||
abs(expr7)<e/2||abs(expr8)<2*e||abs(expr9)<2*e);
red=1;
blue=1;		 tractricesfond.jpg