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L'éditeur de formules de Carrara Studio - Page 35

Courbures de surfaces

0 : Cyclide

Une paramétrisation (Alfred Gray) de cette surface est :

((c*(k - c*cos(p)) + a*(a - k*cos(q))*cos(p))/(a - c*cos(p)*cos(q)) ,

 sqrt(a^2 - c^2)*(a - k*cos(q))*sin(p)/(a - c*cos(p)*cos(q)) ,

 sqrt(a^2 - c^2)*(k - c*cos(p))*sin(q)/(a - c*cos(p)*cos(q)))

En chaque point (x , y , z) de la surface, la courbure totale vaut K = cos(q)/(k-c*cos(p))*(-a+k*cos(q)))

En chaque point (x , y , z) de la surface, la courbure totale vaut H= (a-2*k+c*cos(p)*cos(q))/(2*abs(k-c*cos(p))*abs(-a+k*cos(q)))

01 : Coloriage suivant la courbure totale

010 : Cyclide : Formules avec a = 4 , c = 1 et k = 4/3

Formule objet Formule texture

p=2*PI*u;
q=2*PI*v;
s1=4/3-cos(p);
s2=4-(4/3)*cos(q);
s3=sqrt(15);
s4=4-cos(p)*cos(q);
x=(s1+4*s2*cos(p))/s4;
y=s3*s2*sin(p)/s4;
z=s3*s1*sin(q)/s4;

p=2*PI*u;
q=2*PI*v;
s=(4/3-cos(p))*(-4+(4/3)*cos(q));
cond=(s==0);
Kmin=-1.2;Kmax=0.6;
K=(cond?Kmin:cos(q)/s);
Kaux=(K<Kmin?Kmin:(K>Kmax?Kmax:K));
Kn=(Kaux-Kmin)/(Kmax-Kmin);
sub1=0.1;sub2=0.35;sub3=0.65;sub4=0.9;
clr1=0.5*sub1;
clr2=sub1+0.5*(sub2-sub1);
clr3=sub2+0.5*(sub3-sub2);
clr4=sub3+0.5*(sub4-sub3);
clr5=sub4+0.5*(1-sub4);
e1=0.5*sub1;
e2=0.5*(sub2-sub1);
e3=0.5*(sub3-sub2);
e4=0.5*(sub4-sub3);
e5=0.5*(1-sub4);
crb1=(abs(Kn-clr1)<=e1);
crb2=(abs(Kn-clr2)<=e2);
crb3=(abs(Kn-clr3)<=e3);
crb4=(abs(Kn-clr4)<=e4);
crb5=(abs(Kn-clr5)<=e5);
coef1=0.75;
coef2=0.4;
coef3=0.8;
red=coef1*(crb1||crb2||crb5);
green=coef2*(crb2||crb3);
blue=coef3*(crb4||crb5);

011 : Cyclide: Vue 1

Rendu
35image011

02 : Coloriage suivant la courbure moyenne

020 : Cyclide : Formulesavec a = 4 , c = 1 et k = 4/3

Formule objet Formule texture

p=2*PI*u;
q=2*PI*v;
s1=4/3-cos(p);
s2=4-(4/3)*cos(q);
s3=sqrt(15);
s4=4-cos(p)*cos(q);
x=(s1+4*s2*cos(p))/s4;
y=s3*s2*sin(p)/s4;
z=s3*s1*sin(q)/s4;

p=2*PI*u;
q=2*PI*v;
s=abs(4/3-cos(p))*abs(4-(4/3)*cos(q));
cond=(s==0);
Hmin=0;Hmax=1.6;
H=(cond?Hmin:(4-(8/3)*cos(q)+cos(p)*cos(q))/(2*s));
Haux=(H<Hmin?Hmin:(H>Hmax?Hmax:H));
Hn=(Haux-Hmin)/(Hmax-Hmin);
sub1=0.1;sub2=0.35;sub3=0.65;sub4=0.9;
clr1=0.5*sub1;
clr2=sub1+0.5*(sub2-sub1);
clr3=sub2+0.5*(sub3-sub2);
clr4=sub3+0.5*(sub4-sub3);
clr5=sub4+0.5*(1-sub4);
e1=0.5*sub1;
e2=0.5*(sub2-sub1);
e3=0.5*(sub3-sub2);
e4=0.5*(sub4-sub3);
e5=0.5*(1-sub4);
crb1=(abs(Hn-clr1)<=e1);
crb2=(abs(Hn-clr2)<=e2);
crb3=(abs(Hn-clr3)<=e3);
crb4=(abs(Hn-clr4)<=e4);
crb5=(abs(Hn-clr5)<=e5);
coef1=0.75;
coef2=0.4;
coef3=0.8;
red=coef1*(crb1||crb2||crb5);
green=coef2*(crb2||crb3);
blue=coef3*(crb4||crb5);

021 : Cyclide: Vue 1

Rendu
35image021

1 : Selle

La selle a pour équation cartésienne z = x^3 - 3*x*y^2

Une paramétrisation de cette surface est (p , q , p^3-3*p*q^2)

En chaque point (x , y , z) de la surface, la courbure totale vaut K = -36*(p^2 + q^2)/(1 + 9*(p^2 + q^2)^2)^2

En chaque point (x , y , z) de la surface, la courbure moyenne vaut H = -9*p*(3*p^4 - 6*p^2 q^2 - 9*q^4)/(1 + 9*(p^2 + q^2)^2)^(3/2)

11 : Coloriage suivant la courbure totale

En fait on utilise la valeur absolue de K

110 : Selle : Formules

Formule objet Formule texture

pmin=-0.8;pmax=0.8;
qmin=-0.8;qmax=0.8;
p=(pmax-pmin)*u+pmin;
q=(qmax-qmin)*v+qmin;
x=p;
y=q;
z=pow(p,3)-3*p*pow(q,2);

pmin=-0.8;pmax=0.8;
qmin=-0.8;qmax=0.8;
p=(pmax-pmin)*u+pmin;
q=(qmax-qmin)*v+qmin;
s=pow(p,2)+pow(q,2);
K=36*s/pow(1+9*pow(s,2),2);
Kmin=0;Kmax=6;
Kn=(K-Kmin)/(Kmax-Kmin);
e=0.1;
clr1=0.1;clr2=0.3;clr3=0.5;clr4=0.7;clr5=0.9;
crb1=(abs(Kn-clr1)<=e);
crb2=(abs(Kn-clr2)<=e);
crb3=(abs(Kn-clr3)<=e);
crb4=(abs(Kn-clr4)<=e);
crb5=(abs(Kn-clr5)<=e);
coef1=0.75;
coef2=0.4;
coef3=0.8;
red=coef1*(crb1||crb2||crb5);
green=coef2*(crb2||crb3);
blue=coef3*(crb4||crb5);

111 : Selle : Vue 1

Rendu
35image111

112 : Selle : Vue 2

Rendu
35image112

12 : Coloriage suivant la courbure moyenne

120 : Selle : Formules

Formule objet Formule texture

pmin=-0.8;pmax=0.8;
qmin=-0.8;qmax=0.8;
p=(pmax-pmin)*u+pmin;
q=(qmax-qmin)*v+qmin;
x=p;
y=q;
z=pow(p,3)-3*p*pow(q,2);

pmin=-0.8;pmax=0.8;
qmin=-0.8;qmax=0.8;
p=(pmax-pmin)*u+pmin;
q=(qmax-qmin)*v+qmin;
s=pow(p,2)+pow(q,2);
H=27*p*(-pow(p,4)+2*pow(p,2)*pow(q,2)+3*pow(q,4))/pow(1+9*pow(s,2),3/2);
Hmin=-0.879;Hmax=0.879;
Hn=(H-Hmin)/(Hmax-Hmin);
e=0.1;
clr1=0.1;clr2=0.3;clr3=0.5;clr4=0.7;clr5=0.9;
crb1=(abs(Hn-clr1)<=e);
crb2=(abs(Hn-clr2)<=e);
crb3=(absHn-clr3)<=e);
crb4=(abs(Hn-clr4)<=e);
crb5=(abs(Hn-clr5)<=e);
coef1=0.75;
coef2=0.4;
coef3=0.8;
red=coef1*(crb1||crb2||crb5);
green=coef2*(crb2||crb3);
blue=coef3*(crb4||crb5);

121 : Selle : Vue 1

Rendu
35image121

122 : Selle : 2

Rendu
35image122

2 : Surface de Richmond (première surface)

Une paramétrisation de la première surface de Richmond est (-cos(p)/(2*q)-(1/6)*q^3 cos(3*p) , -sin(p)/(2*q)-(1/6)*q^3 sin(3*p) , q*cos(p))

En chaque point (x , y , z) de la surface, la courbure totale vaut K = -64*q^2/(1 + q^4)^4

En chaque point (x , y , z) de la surface, la courbure moyenne H est nulle (surface minimale)

21 : Coloriage suivant la courbure totale

En fait on utilise la valeur absolue de K

210 : Richmond 1 : Formules

Formule objet Formule texture

p=2*PI*u;
q=v+0.3;
x=-cos(p)/(2*q)-(1/6)*pow(q,3)*cos(3*p);
y=-sin(p)/(2*q)-(1/6)*pow(q,3)*sin(3*p);
z=q*cos(p);

pmin=0;pmax=2*PI;
qmin=0.3;qmax=1.3;
p=(pmax-pmin)*u+pmin;
q=(qmax-qmin)*v+qmin;
K=64*pow(q,6)/pow(1+pow(q,4),4);
Kmin=0;Kmax=4.53;
Kn=(K-Kmin)/(Kmax-Kmin);
e=0.1;
clr1=0.1;clr2=0.3;clr3=0.5;clr4=0.7;clr5=0.9;
crb1=(abs(Kn-clr1)<=e);
crb2=(abs(Kn-clr2)<=e);
crb3=(abs(Kn-clr3)<=e);
crb4=(abs(Kn-clr4)<=e);
crb5=(abs(Kn-clr5)<=e);
coef1=0.75;
coef2=0.4;
coef3=0.8;
red=coef1*(crb1||crb2||crb5);
green=coef2*(crb2||crb3);
blue=coef3*(crb4||crb5);

211 : Richmond 1 : Vue 1

Rendu
35image211

212 : Richmond 1 : Vue 2

Rendu
35image212

213 : Richmond 1 : Vue 3

Rendu
35image213

3 : Surface de Richmond (deuxième surface)

Une paramétrisation de la deuxième surface de Richmond est :

(-cos(p)/(2*q)-(1/10)*q^5 cos(5*p) , -sin(p)/(2*q)-(1/10)*q^5 sin(5*p) , (1/2)*q^2 cos(2*p))

En chaque point (x , y , z) de la surface, la courbure totale vaut K = -144*q^8/(1 + q^6)^4

En chaque point (x , y , z) de la surface, la courbure moyenne H est nulle (surface minimale)

31 : Coloriage suivant la courbure totale

En fait on utilisera la valeur absolue de K

310 : Richmond 2 : Formules

Formule objet Formule texture

p=2*PI*u;
q=v+0.3;
x=-cos(p)/(2*q)-(1/10)*pow(q,5)*cos(5*p);
y=-sin(p)/(2*q)-(1/10)*pow(q,5)*sin(5*p);
z=(1/2)*pow(q,2)*cos(2*p);

pmin=0;pmax=2*PI;
qmin=0.3;qmax=1.3;
p=(pmax-pmin)*u+pmin;
q=(qmax-qmin)*v+qmin;
K=144*pow(q,8)/pow(1+pow(q,6),4);
Kmin=0;Kmax=11.28;
Kn=(K-Kmin)/(Kmax-Kmin);
e=0.1;
clr1=0.1;clr2=0.3;clr3=0.5;clr4=0.7;clr5=0.9;
crb1=(abs(Kn-clr1)<=e);
crb2=(abs(Kn-clr2)<=e);
crb3=(abs(Kn-clr3)<=e);
crb4=(abs(Kn-clr4)<=e);
crb5=(abs(Kn-clr5)<=e);
coef1=0.75;
coef2=0.4;
coef3=0.8;
red=coef1*(crb1||crb2||crb5);
green=coef2*(crb2||crb3);
blue=coef3*(crb4||crb5);

312 : Richmond 2 : Vue 2

Rendu
35image312

313 : Richmond 2 : Vue 3

Rendu
35image313

314 : Richmond 2 : Vue 4

Rendu
35image314

4 : Surface de Catalan

Une paramétrisation de la surface de Catalan est (a*(p-sin(p)*cosh(q)) , a*(1-cos(p)*cosh(q)) , -4*a*sin(p/2)*sinh(q/2))

En chaque point (x , y , z) de la surface, la courbure totale vaut K = 1/(8*a^2 cosh(q/2)^4 (cos(p) - cosh(q))

En chaque point (x , y , z) de la surface, la courbure moyenne H est nulle (surface minimale)

41 : Coloriage suivant la courbure totale

410 : Catalan: Formules avec a = 1

Formule objet Formule texture

p=4*PI*u;
q=4*(v-0.5);
x=(p-sin(p)*cosh(q));
y=(1-cos(p)*cosh(q));
z=-4*sin(p/2)*sinh(q/2);

p=4*PI*u;
q=4*(v-0.5);
s=cos(p)-cosh(q);
cond=(s==0);
Kmin=-0.1;Kmax=0;
K=(cond?Kmin:1/(8*pow(cosh(q/2),4)*s));
Kaux=(K<Kmin?Kmin:(K>Kmax?Kmax:K));
Kn=(Kaux-Kmin)/(Kmax-Kmin);
e=0.1;
clr1=0.1;clr2=0.3;clr3=0.5;clr4=0.7;clr5=0.9;
crb1=(abs(Kn-clr1)<=e);
crb2=(abs(Kn-clr2)<=e);
crb3=(abs(Kn-clr3)<=e);
crb4=(abs(Kn-clr4)<=e);
crb5=(abs(Kn-clr5)<=e);
coef1=0.75;
coef2=0.4;
coef3=0.8;
red=coef1*(crb1||crb2||crb5);
green=coef2*(crb2||crb3);
blue=coef3*(crb4||crb5);

411 : Catalan : Vue 1

Rendu
35image411

412 : Catalan : Vue 2

p=6*PI*u;

Rendu
35image412

5 : Surface de Ignoto

Une paramétrisation de la première surface de Ignoto est (a*q*(9*cos(p)+cos(9*p)) , a*q*(9*sin(p)-sin(9*p)) , 8*a*cos(q))

En chaque point (x , y , z) de la surface, la courbure totale vaut K = -cos(q)*sin(q)/(9*a^2 q*(cos(10*p)+cos(2*q)-2)^2)

51 : Coloriage suivant la courbure totale

510 : Ignoto : Formules avec a = 1

Formule objet Formule texture

p=2*PI*u;
q=PI*v;
x=q*(9*cos(p)+cos(9*p));
y=q*(9*sin(p)-sin(9*p));
z=8*cos(q);

p=2*PI*u;
q=PI*v;
s=cos(10*p)+cos(2*q)-2;
cond=(q*s==0);
Kmin=-0.07;Kmax=0.05;
K=(cond?Kmin:-cos(q)*sin(q)/(9*q*pow(s,2)));
Kaux=(K<Kmin?Kmin:(K>Kmax?Kmax:K));
Kn=(Kaux-Kmin)/(Kmax-Kmin);
e=0.1;
clr1=0.1;clr2=0.3;clr3=0.5;clr4=0.7;clr5=0.9;
crb1=(abs(Kn-clr1)<=e);
crb2=(abs(Kn-clr2)<=e);
crb3=(abs(Kn-clr3)<=e);
crb4=(abs(Kn-clr4)<=e);
crb5=(abs(Kn-clr5)<=e);
coef1=0.75;
coef2=0.4;
coef3=0.8;
red=coef1*(crb1||crb2||crb5);
green=coef2*(crb2||crb3);
blue=coef3*(crb4||crb5);

511 : Ignoto: Vue 1

Rendu
35image511

512 : Ignoto : Vue 2

Rendu
35image512

6 : Surface NuméroSix

En chaque point (x , y , z) de la surface, la courbure totale vaut K = -36*q^10/((1 + q^6)^4 (q^6 -2*q^3 cos(3*p)))

En chaque point (x , y , z) de la surface, la courbure moyenne H est nulle (surface minimale)

61 : Coloriage suivant la courbure totale

610 NuméroSix : Formules

Formule objet Formule texture

p=2*PI*u;
q=0.6*v+0.4;
x=q*cos(p)+cos(2*p)/(2*pow(q,2))+pow(q,4)*cos(4*p)/4-pow(q,7)*cos(7*p)/7;
y=-q*sin(p)+sin(2*p)/(2*pow(q,2))+pow(q,4)*sin(4*p)/4-pow(q,7)*sin(7*p)/7;
z=-2*q*cos(p)+pow(q,4)*cos(4*p)/2;

p=2*PI*u;
q=0.6*v+0.4;
s1=pow(pow(q,6)+1,4);
s2=pow(q,6)-2*pow(q,3)*cos(3*p)+1;
cond=(s2==0);
Kmin=-1;Kmax=0;
K=(cond?Kmin:-36*pow(q,10)/(s1*s2));
Kaux=(K<Kmin?Kmin:(K>Kmax?Kmax:K));
Kn=(Kaux-Kmin)/(Kmax-Kmin);
e=0.1;
clr1=0.1;clr2=0.3;clr3=0.5;clr4=0.7;clr5=0.9;
crb1=(abs(Kn-clr1)<=e);
crb2=(abs(Kn-clr2)<=e);
crb3=(abs(Kn-clr3)<=e);
crb4=(abs(Kn-clr4)<=e);
crb5=(abs(Kn-clr5)<=e);
coef1=0.75;
coef2=0.4;
coef3=0.8;
red=coef1*(crb1||crb2||crb5);
green=coef2*(crb2||crb3);
blue=coef3*(crb4||crb5);

611 NuméroSix : Vue 1

Rendu
35image611

612 NuméroSix : Vue 2

Rendu
35image612

7 : Surface de Kuen

En chaque point (x , y , z) de la surface :

- la courbure totale est constante et vaut -1/a^2

- la courbure moyenne H vaut (q^2 (q^2 cos(2*p) - q^2 + 12)*sin(p)^2 - 2)/(4*a*sin(p)*abs(q)*abs(q^2 cos(2*p) - q^2 + 2))

72 : Coloriage suivant la courbure moyenne

720 Kuen : Formules

Formule objet Formule texture

eps=0.03;
p=(PI-2*eps)*u+eps;
q=4.5*(2*v-1);
s=1+pow(q,2)*sin(p)*sin(p);
x=2*(cos(q)+q*sin(q))*sin(p)/s;
y=2*(sin(q)-q*cos(q))*sin(p)/s;
z=log(tan(p/2))+2*cos(p)/s;

eps=0.03;
p=(PI-2*eps)*u+eps;
q=4.5*(2*v-1);
s=pow(q,2)*(cos(2*p)-1);
cond=(sin(p)==0||q==0||s+2==0);
Hmin=-1;Hmax=1;
H=(cond?0:pow(q,2)*(s+12)*pow(sin(p),2)-2)/(4*sin(p)*abs(q)*abs(s+2)));
Haux=(H<Hmin?Hmin:(H>Hmax?Hmax:H));
Hn=(Haux-Hmin)/(Hmax-Hmin);
e=0.1;
clr1=0.1;clr2=0.3;clr3=0.5;clr4=0.7;clr5=0.9;
crb1=(abs(Hn-clr1)<=e);
crb2=(abs(Hn-clr2)<=e);
crb3=(abs(Hn-clr3)<=e);
crb4=(abs(Hn-clr4)<=e);
crb5=(abs(Hn-clr5)<=e);
coef1=0.75;
coef2=0.4;
coef3=0.8;
red=coef1*(crb1||crb2||crb5);
green=coef2*(crb2||crb3);
blue=coef3*(crb4||crb5);

721 Kuen : Vue 1

Rendu
35image721

722 Kuen : Vue 2

Rendu
35image722

8 : Surface d'Enneper (première surface)

81 : Coloriage suivant la courbure totale

En fait on utilisera la valeur absolue de K

810 Enneper 1: Formules avec a = 1

Formule objet Formule texture

p=2*PI*u;
q=v;
x=q*cos(p)-pow(q,3)*cos(3*p)/3;
y=-q*sin(p)-pow(q,3)*sin(3*p)/3;
z=pow(q,2)*cos(2*p);

p=2*PI*u;
q=v;
K=4/pow(1+pow(q,2),4);
Kmin=0;Kmax=4;
Kn=(K-Kmin)/(Kmax-Kmin);
e=0.1;
clr1=0.1;clr2=0.3;clr3=0.5;clr4=0.7;clr5=0.9;
crb1=(abs(Kn-clr1)<=e);
crb2=(abs(Kn-clr2)<=e);
crb3=(abs(Kn-clr3)<=e);
crb4=(abs(Kn-clr4)<=e);
crb5=(abs(Kn-clr5)<=e);
coef1=0.75;
coef2=0.4;
coef3=0.8;
red=coef1*(crb1||crb2||crb5);
green=coef2*(crb2||crb3);
blue=coef3*(crb4||crb5);

811 Enneper 1: Vue 1

Rendu
35image811

812 Enneper 1: Vue 2

Rendu
35image812

9 : Surface d'Enneper (deuxième surface)

En chaque point (x , y , z) de la surface :

- la courbure totale K vaut -16*q^2/(a^2 (1 + q^4)^4)

- la courbure moyenne est nulle (surface minimale)

91 : Coloriage suivant la courbure totale

En fait on utilisera la valeur absolue de K

910 Enneper 2 : Formules avec a = 1

Formule objet Formule texture

p=2*PI*u;
q=v;
x=q*cos(p)-pow(q,5)*cos(5*p)/5;
y=-q*sin(p)-pow(q,5)*sin(5*p)/5;
z=2*pow(q,3)*cos(3*p)/3;

p=2*PI*u;
q=v;
K=16*pow(q,2)/pow(1+pow(q,4),4);
Kmin=0;Kmax=3.54489;
Kn=(K-Kmin)/(Kmax-Kmin);
e=0.1;
clr1=0.1;clr2=0.3;clr3=0.5;clr4=0.7;clr5=0.9;
crb1=(abs(Kn-clr1)<=e);
crb2=(abs(Kn-clr2)<=e);
crb3=(abs(Kn-clr3)<=e);
crb4=(abs(Kn-clr4)<=e);
crb5=(abs(Kn-clr5)<=e);
coef1=0.75;
coef2=0.4;
coef3=0.8;
red=coef1*(crb1||crb2||crb5);
green=coef2*(crb2||crb3);
blue=coef3*(crb4||crb5);

911 Enneper 2: Vue 1

Rendu
35image911

912 Enneper 2: Vue 2

Rendu
35image912